欧拉公式是什么 欧拉定理的资料简介

2015-12-20 19:07    来源:www.ufo-2.cn    编辑:admin    已有()人围观
导读: 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中,欧拉定理(Euler Theorem,也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质.........

欧拉定理的资料简介

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中,欧拉定理(Euler Theorem,也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉,该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中,顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理,指在完全竞争的条件下,假设长期中规模收益不变,则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。


欧拉公式是什么 欧拉定理的资料简介

欧拉公式


莱昂哈德·欧拉

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ,1707年4月15日~1783年9月18日),瑞士数学家,13岁进巴塞尔大学读书,得到著名数学家贝努利的精心指导.欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他从19岁开始发表论文,直到76岁,他那不倦的一生,共写下了886本书籍和论文,其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作,整整用了47年。 欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间,也没有停止对数学的研究,口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。 欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支,对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯(Gauss,1777-1855)曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者,他创设的许多数学符号,例如π,i,e,sin,cos,tg,Σ,f (x)等等,至今沿用。 欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题,还解决了使牛顿头痛的月地问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2,此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数,已成为“拓扑学”的基础概念。

数论定理

内容

在数论中,欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明,若n,a为正整数,且n,a互质,则:

证明

将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然,共有φ(n)个数)

我们考虑这么一些数:

m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)

1)这些数中的任意两个都不模n同余,因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些),就有:

mS-mR=a(xS-xR)=qn,即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质,a与n的最大公因子是1,而xS-xR<n,因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余,φ(n)个数有φ(n)种余数。

2)这些数除n的余数都与n互质,因为如果余数与n有公因子r,那么a*xi=pn+qr=r(……),a*xi与n不互质,而这是不可能的。那么这些数除n的余数,都在x1,x2,x3……xφ(n)中,因为这是1~n中与n互质的所有数,而余数又小于n.

由1)和2)可知,数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).

故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)

或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)

或者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。

可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质,所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除,即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n),即a^[φ(n)]≡1 (mod n),得证。

费马小定理:

a是不能被质数p整除的正整数,则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

证明这个定理非常简单,由于p是质数,所以有φ(p) = p-1,代入欧拉定理即可证明。推论:对于任意正整数a,有a^p ≡ a (mod p),因为a能被p整除时结论显然成立。

应用

首先看一个基本的例子。令a = 3,n = 5,这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4,所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数])。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81,而81= 80 + 1 Ξ 1 (mod 5)。与定理结果相符。

这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数,实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]],且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

拓扑公式

V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀成一个球面),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓扑不变量,是拓扑学研究的范围。

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